Lab2 功率测量和功率因数提高

2024/3/24

一、实验目的

学习日光灯管的工作原理，了解镇流器、启辉器的作用；
了解功率因数的概念，学会对功率因数进行补偿

二、实验要求

保持日光灯两端电压不变，测量I-C，P-C；
作出I^2^、P、cosφ与补偿电容C的关系曲线；
求I^2^－C曲线的有理经验公式；
用P－C曲线求单位电容的等效电导g；
推算电网电压三次谐波分量的大小；
测量灯管、镇流器以及总负载的等效参数；
解释或研究实验过程中遇到的异常现象。

三、实验方案与实验原理

连接日光灯管电路为下图所示，利用三表法(功率表，电流表，电压表)测量电路等效阻抗；调节并联电容C的大小，记录U、I、P的数据，计算功率因数，从而得到最佳电容补偿方案。

由于试验台的瓦特表能够同时测量电流电压及众多参数，包括功率因数，所以本实验电路只需要使用瓦特表一个电表即可。

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日关灯及镇流器可以等效为一个阻抗为$Z=R+jwL$的元件，计算如下： $$ \begin{align} \dot I_总&=\dot I_C+\dot I_L\ &=-\frac{\dot U}{j\frac1{wC}}+\frac{\dot U}{R+j\omega L}\ &=Re(\dot I_L)+j[-Im(\dot I_L)+\dot UwC] \end{align}\ $$ 由上式可知，电容产生的电流可以很好地弥补电感产生的电流，减小总体的输入电流，增大功率因数角；电容的取值有一个特定的范围，若超过该取值，则功率因数过补偿。

若将所有元件表示为电导的形式，则会得到更加简洁的表达式：

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\[ \dot I_{Cx}=I_R+jI_L+gC_x\dot U+jwC_x\dot U\\ \Rightarrow I_{Cx}^2=(I_R+gC_xU)^2+(I_L+wC_xU)^2\\ \]

$I^2$的曲线，可由C_x的相关曲线进行二次拟合，即： $$ I_{Cx}^2=aC_x^2+bC_x+I_{C0}^2\ \begin{cases} a=(g^2+w^2)U^2\ b=2(gI_R-wI_L)U \end{cases} $$ 理论上，电路的整体功率不会随着电容的增加而增加，但是实际上，电容越大，功率消耗越大，因此引进参数$g$，相当于电容并联一个与电容大小成正比的电阻，$g$的大小可以用P的一次线性拟合得到： $$ \because P-P_0=UI_g\ \therefore P=(gU^2)C_x+P_0 $$

四、实验过程

将调节旋钮逆时针旋转到底，归零。
在断电的情况下按照上图连接电路，先不将电容接进电路中。
对电路通电，调节自耦变压器，点亮灯管。
当灯管亮起，并在180V左右一闪一闪，说明灯管本身无损坏，将电压调节至220V，准备开始进行实验。
先记录无电容的情况下，即电容C=0，情况下的电表读数；后调节电容的大小，记下各个点的读数，实验过程中，电压的大小在缓慢改变，变化幅度在$\pm0.3V$左右。

数据记录

C	U	I	W	Var	VA	PF	phi
0	220.3	0.289	26.4	58	63.6	0.417	65.3
1	220	0.229	26.4	42.7	50.3	0.526	58.2
2	219.9	0.174	26.4	26.9	38.2	0.69	46.2
3	220.2	0.14	26.4	11.7	30.6	0.863	30.3
3.2	220.4	0.137	26.6	8.5	30.1	0.884	27.7
3.4	220.2	0.135	26.6	5.2	29.7	0.898	26
3.7	220.3	0.134	26.6	0.4	29.5	0.9	25.3
3.8	220.3	0.135	26.6	1	29.7	0.896	333.6
3.9	220.3	0.136	26.5	2.6	29.8	0.891	333.2
4	220.6	0.142	26.8	7.3	31.2	0.854	328.5
5	220	0.177	26.5	22.2	38.9	0.684	313
6	220.2	0.232	26.6	38.1	51.3	0.518	301.3
7	220.1	0.292	26.6	53	63.8	0.417	294.5
8	220.1	0.352	26.6	67.3	77.3	0.345	290.1

绘制图线

在Matlab中绘制$I^2-C,P-C,\cos\varphi -C$，如图所示：

将三条图线使用三个笛卡尔坐标系重合的方式，绘制在同一张图中：

可以看到$I^2$和功率因数，变化趋势一致，在某一电容值位置分别取到最小值和最大值。
功率变化非常奇怪，似乎没有规律，主要原因是，功率变化并不明显，图表的y坐标变化范围为[26.3,26.8]使得较小的变化被放大。
经实验可知，当$C=3.7\mu F$，能够取到最大功率因数补偿（在C的精确度为0.1uF的情况下）

二次曲线拟合

对$I^2-C$曲线由理论分析部分可知，可进行二次拟合，拟合如下：

二次曲线拟合结果: $y = 0.005297x^{2} - 0.03704 x + 0.08334$

通过Matlab计算最小值得到：

Matlab
% 定义幂函数  
fun = @(x)0.005297*x^2 - 0.03704*x + 0.08334;  

% 使用 fminsearch 求解局部最小值  
x0 = 0; % 初始猜测值  
x_min = fminsearch(fun, x0);  
y_min = fun(x_min);  

disp(['极小值点 x = ', num2str(x_min)]);  
disp(['极小值 y = ', num2str(y_min)]);  

Bash
>> findmin
极小值点 x = 3.4963
极小值 y = 0.018588

即，当电容取$3.4963\mu F$时，能够取到电流最小值0.136A，则计算得到功率因数为$\cos\varphi\approx\frac{26.5}{220\times 0.136}=0.88$，此时功率因数补偿最有效。
但同时可以发现，理论上功率因数补偿可以到1；但是根据拟合结果，此时功率因数补偿无法增加到一，可能是由于没有

P-C曲线拟合求g值

在理论分析中估计P值是在U保持不变的情况下进行，但是实际上U有所变化，因此对数据进行处理，即进行$P/(U/U_{0})^2$处理，使得P在相同的U下进行讨论：

C	0	1	2	3	3.2	3.4	3.7	3.8	3.9	4	5	6	7	8
U	220	220	220	220	220	220	220	220	220	220	220	220	220	220
W	26.32815	26.4	26.42402	26.35207	26.50354	26.5517	26.5276	26.5276	26.42787	26.65441	26.5	26.5517	26.57583	26.57583

对P的数值进行描点，并得到一次拟合曲线为：$y=0.02951x+26.43$

即：

$P_0=26.43W$，当没有电容并入时，光日光灯管产生的功率为25.43W
P中间的一些数值大大远离拟合曲线，原因是这些数据与其余数据不是同一时间测量，是在测完整数值电容之后对图线进行的弥补，所以功率值大大增加。
根据理论计算得知：$g=\frac{a}{U^2}=6.09\times 10^{-7} \Omega^{-1}\cdot\mu F^{-1}=0.609\Omega^{-1}\cdot F^{-1}$

讨论三次谐波的影响

由上述结果已经可以推知，交流电源输入成分并不时非常好，含有高次谐波分量，使得电容不能完全补偿功率因数

现观察高次谐波对功率因数的影响：

已知在单50Hz的作用下，电流与电容的结果为 $$ I_{Cx}^2=aC_x^2+bC_x+I_{C0}^2\ \begin{cases} a=(g^2+w^2)U^2\ b=2(gI_R-wI_L)U \end{cases} $$ 则若电路中有三次谐波，则该式变为 $$ I_{Cx}^2=aC_x^2+bC_x+I_{C0}^2\ \begin{cases} a=(g^2+w^2)U_1^2+(g^2+9w^2)U_3^2\ b=2(gI_R-wI_L)U_1+2(gI_R-3wI_L)U_3\ \end{cases} $$ 可以计算得三次谐波的大小为：（其中由 $y = 0.005297x^{2} - 0.03704 x + 0.08334$，得到$a=0.005297(A/\mu F^2)$） $$ U_3^2=\frac{a-(g^2+\omega^2)U^2}{8\omega^2}=658.73V^2\ U_3=25.67V $$ 使用示波器记录输入电压的CSV数据格式，并使用Matlab对输入的电压数据进行FFT分析：

2024-03-24 (5)

得到如图所示的电压数据，可以看到在除了50Hz的基波之外，3、5、7次谐波均有较大的分量，计算三次谐波分量为：

根据FFT图像，若一次谐波的有效值大小为220V，则三次谐波的有效值大小应与各自显示的FFT大小成正比，则三次谐波的大小为：$220\times\frac{18830.6}{1538750}=26.9V$，计算结果与上述三次谐波计算结果基本一致，可知该电压有较大的谐波分量。

日光灯管参数

日光灯管接入分别如下电路图，使用三表法测量整流器和日关灯管的参数

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实验数据记录如下：

	U	I	W	Var	VA	PF	phi
整流器	193.6	0.288	12.4	53.6	55.3	0.225	76.9
日光灯管	62.8	0.287	15	2.9	18	0.832	33.7

计算整流器和日光灯管在50Hz下的等效阻抗： $$ Z_整=674.2\angle -76.9^\circ \Omega\ Z_灯=218.8\angle -33.7^\circ \Omega\ Z_L=Z_整+Z_灯=847.0\angle-66.7^\circ $$ 则根据理论，C的阻抗大小应该为： $$ C=\frac1{2\pi f\times\Im(847\angle-66.7^\circ)}=3.45\mu F $$

二、总结

各方法结果统计

方法	补偿电容大小	实验结果说明
直接测量法（取电流最小值的点）	$3.7\mu F$左右	实验结果精度不高，但是是最为直接的方法，也是最为准确的方法；完全考虑了高次谐波对实验结果的影响
统计数据，二次曲线拟合法	$3.4963\mu F$	该方法理论与实际数据相结合，通过曲线拟合（统计规律）的方式近似得到电流最小值点。
测量日光灯管等效参数，理论分析	$3.45\mu F$	该测量方法仅仅考虑了基波的影响，完全没有考虑高次谐波对实验结果造成的影响

异常现象

电容由大变小时，会发出类似于电火花迸发的声音

原因：电容存储电量为$Q=CU$，当电容变小，两端电压不变，电容快速放电，因而会产生砰砰声，比较危险。

电容无法弥补功率因数至1

原因：存在较大的高次谐波。

方法	补偿电容大小	实验结果说明
直接测量法（取电流最小值的点）	\(3.7\mu F\)左右	实验结果精度不高，但是是最为直接的方法，也是最为准确的方法；完全考虑了高次谐波对实验结果的影响
统计数据，二次曲线拟合法	\(3.4963\mu F\)	该方法理论与实际数据相结合，通过曲线拟合（统计规律）的方式近似得到电流最小值点。
测量日光灯管等效参数，理论分析	\(3.45\mu F\)	该测量方法仅仅考虑了基波的影响，完全没有考虑高次谐波对实验结果造成的影响