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5 Carrier Transport Phenomena

5.1 Carrier Drift

Jdrf=ρvd J_{drf}=\rho v_d
Jpdrf=(ep)vdp J_{p|drf}=(ep)v_{dp}
  • vdpv_{dp}平均漂移速度
  • JpdrfJ_{p|drf}空穴形成的漂移电流密度
F=mpa=eE F=m^*_pa=eE
  • mpm_p^*空穴有效质量

弱电场情况下,平均速度与电场强度成正比
vdp=μpE v_{dp}=\mu_pE

  • μp\mu_p 空穴迁移率 hole mobility

联立得:

Jpdrf=(ep)vdp=epμpE J_{p|drf}=(ep)v_{dp}=ep\mu_pE

同理:

Jndrf=(en)vdn=enμnEwhere vdn=μnE \begin{gather*} J_{n|drf}=-(en)v_{dn}=en\mu_nE\\ \small{\text{where } v_{dn}=-\mu_nE} \end{gather*}

电子漂移电流的方向与外加电场方向相同。

the total drift current density 总漂流电流密度
Jdrf=e(μnn+μpp)E J_{drf}=e(\mu_nn+\mu_pp)E

5.1.2 Mobility Effect

F=mpdvdt=eEv=eEtmp \begin{gather*} F=m_p^*\frac{dv}{dt}=eE\\ \Rightarrow v=\frac{eEt}{m_p^*} \end{gather*}

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5.1(a) 无外加电场,(b)加上一个小电场以后,在E方向上有净漂移

碰撞或散射前粒子平均最大速度为:

vdpeak=(eτcpmp)E v_{d|peak}=\left(\frac{e\tau_{cp}}{m^*_p}\right)E
  • τcp\tau_{cp}为碰撞之间的平均时间

则平均漂移速度

vd=12(eτcpmp)E v_d=\frac1{2}\left(\frac{e\tau_{cp}}{m^*_p} \right)E
空穴迁移率: μp=eτcpmp电子迁移率: μn=eτcnmn \begin{gather*} \text{空穴迁移率: }\mu_p=\frac{e\tau_{cp}}{m^*_p}\\ \text{电子迁移率: }\mu_n=\frac{e\tau_{cn}}{m^*_n}\\ \end{gather*}

晶格散射/声子散射时的迁移率,热振动对固体理想周期性势场的破坏;感性理解:温度下降,晶格振动减弱,受到散射的概率降低,迁移率增加。 μLT3/2 \mu_L\propto T^{-3/2}

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电离杂质散射;温度升高,载流子随机热运动速度增加;若杂质增加,电离杂质散射中心数量增加,载流子散射概率增大。

掺入的半导体杂质原子对半导体性质的改变

uIT3/2NINI=Nd++Na \begin{gather*} u_I\propto \frac{T^{3/2}}{N_I}\\ \small{N_I=N_d^++N_a^-} \end{gather*}

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在微分时间dtdt中受到散射的总概率为

dtτ=dtτI+dtτL \frac{dt}{\tau}=\frac{dt}{\tau_I}+\frac{dt}{\tau_L}
1μ=1μI+1μL \frac1{\mu}=\frac1{\mu_I}+\frac1{\mu_L}

5.1.3 Conductivity

Jdrf=e(μnn+μpp)E=σE J_{drf}=e(\mu_nn+\mu_pp)E=\sigma E
ρ=1σ=1e(μnn+μpp) \rho = \frac1{\sigma}=\frac1{e(\mu_nn+\mu_pp)}

如一个p型半导体,Na>>niN_a>>n_iNd=0N_d=0

σ=e(μnn+μpp)eμpp \sigma=e(\mu_nn+\mu_pp)\approx e\mu_pp

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  • Extrinsic 杂质全部电离,电子浓度保持稳定
  • 迁移率是温度的函数,迁移率发生变化
  • Intrinsic区域,nin_i主导 迁移率变化
  • Freeze-out,束缚态出现,电子浓度和电导率随温度下降而下降

5.1.4 Velocity Saturation

热运动平均能量计算

12mvth2=32kT \frac1{2}mv_{th}^2=\frac3{2}kT

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  • 300K时,Si中热运动平均能量为320.0259eV=0.03885eV\frac3{2}\cdot 0.0259eV=0.03885eV,运动速度约为107cm/s10^7cm/s
  • 电子漂移速度为105cm/s10^5cm/s
  • 外加电场不会显著改变电子能量
  • 电场较弱时,漂移速度随电场强度线性变化,斜率即为迁移率
  • 电场较强时,会达到饱和

5.2 Carrier Diffusion

高浓度->低浓度的扩散运动

5.2.1 Diffusion Current Density

Fn=12vth[n(l)n(+l)]=12vth[(n(0)ldndx)(n(0)+ldndx)]=vthldndx \begin{align*} F_n&=\frac1{2}v_{th}[n(-l)-n(+l)] \\ &=\frac1{2}v_{th}\left[ \left(n(0)-l\frac{dn}{dx}\right)- \left(n(0)+l\frac{dn}{dx}\right) \right] \\ &=-v_{th}l\frac{dn}{dx} \end{align*}
the electron diffusion current density
J=eFn=+evthldndx J=-eF_n=+ev_{th}l\frac{dn}{dx}
Jnxdif=eDndndx J_{nx|dif}=eD_n\frac{dn}{dx}
  • DnD_n the electron diffusion coefficient

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Jpxdif=eDpdpdx J_{px|dif}=-eD_p\frac{dp}{dx}

5.2.2 Total Current Density

  • electron drift
  • electron diffusion currents
  • hole drift
  • hole diffusion currents
Total Currents
1D:J=enμnEx+epμpEx+eDndndxeDpdpdx3D:J=enμnEx+epμpEx+eDnneDpx \begin{gather*} 1D:\quad J=en\mu_nE_x+ep\mu_pE_x+eD_n\frac{dn}{dx}-eD_p\frac{dp}{dx} \\ 3D:\quad J=en\mu_nE_x+ep\mu_pE_x+eD_n\nabla n-eD_p\nabla x \\ \end{gather*}

5.3 Graded Impurity Distribution

5.3.1 Induced Electric Field

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  • n type semi
  • 掺杂浓度随着x增加而减小,因此EFEFiE_F-E_{Fi}越来越小
  • x小处,电子浓度高;x大处电子浓度低;电子向x正方向移动;电流方向为x负方向;电势x小处高;电子受到x负方向的力,最后达到平衡状态。
  • 最后平衡状态有一个x正方向的电场
ϕ=+1e(EFEFi)Ex=dϕdx=1edEFidx \begin{gather*} \phi=+\frac1{e}(E_F-E_{Fi}) \\ E_x=-\frac{d\phi}{dx}=\frac1{e}\frac{dE_{Fi}}{dx} \end{gather*}

假设满足电中性条件:

n0=niexp[EFEFikT]Nd(x)EFEFi=kTln(Nd(x)ni) \begin{gather*} n_0=n_i\exp\left[\frac{E_F-E_{Fi}}{kT} \right]\approx N_d(x) \\ \Rightarrow E_F-E_{Fi}=kT\ln(\frac{N_d(x)}{n_i}) \end{gather*}

热平衡时,EFE_F恒定,对x求导:

dEFidx=kTNd(x)dNd(x)dxEx=kTe1Nd(x)dNd(x)dx \begin{gather*} -\frac{dE_{Fi}}{dx}=\frac{kT}{N_d(x)}\frac{dN_d(x)}{dx}\\ E_x=-\frac{kT}{e}\frac1{N_d(x)}\frac{dN_d(x)}{dx} \end{gather*}

5.3.2 The Einstein Relation

假设:

  • 没有外加电场
  • 半导体处于热平衡状态,则电子电流和空穴电流分别为0
Jn=0Jp=0 J_n=0 \text{且}J_p=0
Jn=0=enμnEx+eDndndxJn=0=eμnNd(x)Ex+eDndNd(x)dxEx=kTe1Nd(x)dNd(x)dx0=eμnNd(x)kTe1Nd(x)dNd(x)dx+eDndNd(x)dx \begin{gather*} J_n=0=en\mu_nE_x+eD_n\frac{dn}{dx}\\ \Leftrightarrow J_n=0=e\mu_nN_d(x)E_x+eD_n\frac{dN_d(x)}{dx}\\ \because E_x=-\frac{kT}{e}\frac1{N_d(x)}\frac{dN_d(x)}{dx}\\ \Rightarrow 0=-e\mu_nN_d(x)\frac{kT}{e}\frac1{N_d(x)}\frac{dN_d(x)}{dx}+eD_n\frac{dN_d(x)}{dx} \end{gather*}

则:

Dnμn=kTe \frac{D_n}{\mu_n}=\frac{kT}{e}

同理

Dpμp=kTe \frac{D_p}{\mu_p}=\frac{kT}{e}
The Einstein Relation
Dnμn=Dpμp=kTe \frac{D_n}{\mu_n}=\frac{D_p}{\mu_p}=\frac{kT}{e}